· Ordem 2:
Ex: A = Det A =
(essa parte do cálculo é feita da seguinte forma: primeiramente multiplica-se os elementos da diagonal principal e não se troca o sinal, ou seja, se der positivo deixe positivo , se der negativo deixe negativo. Depois multiplique os elementos da diagonal secundária e troque o sinal do produto, isto é, se der positivo mude para negativo, e se der negativo mude para positivo).
Resultado: det A = 10 - 12
det A = -2

Menor complementar

É o determinante da matriz menor que será obtida eliminando uma linha e uma coluna da matriz original.

Exemplo:

*Número escolhido aleatoriamente. Eliminar, então, 2^a linha e 3^a coluna.
det = 5 + 2 = 7 (processo normal de cálculo de determinantes de ordem 2).

Cofator ou Complemento algébrico

É o produto entre (-1)^{i + j} e o seu menor complementar.

Exemplo:
ao Cofatorar A₃₂(diferente de a₃₂ e A_3X2) = (-1)^{3 + 2} .
A₃₂ = (-1) . (3 + 5) = -8

Regra de Sarrus – Matriz de Ordem 3

Dada uma matriz, repete-se à direita, a 1^a e a 2^a colunas, multiplicando os elementos seguindo cada diagonal, observando sempre o sinal, como no esquema:

Temos então: det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₁ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁a₃₃

Teorema de Laplace

O determinante de uma matriz de ordem n será dado pelo somatório do produto entre o elemento e seu cofator para uma única mesma fila.

· Exemplo:

Det A = a₁₁ A ₁₁ + a₂₁ A₂₁ + a₃₁ A ₃₁Det A = 1 . (-1)¹⁺¹ . + 3 . (-1)²⁺¹ . + 5 . (-1)³⁺¹ .
Det A = 1 . 1 . (-4 + 1) + 3 . (-1) . (-4 + 4) + 5 . 1 . (2 - 8)
Det A = -3 + 0 - 30 = -33

Regra de Chió

- Escolhe-se o pivô (1) e a partir dele se exclui sua linha e coluna;
- Em outro passo, eleve o (-1) a soma de sua linha e coluna, e multiplique os correspondentes (figura) depois subtraindo o anterior por essa multiplicação (vide figura);
- Com uma determinante de ordem 3 sua resolução fica mais facilitada, podendo aplicar o processo de preferência sua;

Propriedades dos Determinantes

Anulamento de determinantes:
1. Se em uma matriz quadrada de ordem n uma fila é nula, então o seu determinante será 0;
2. Se em uma matriz quadrada de ordem n duas filas paralelas são iguais, então seu determinante será 0;
3. Se em uma matriz quadrada de ordem n duas filas paralelas são proporcionais, então o seu determinante será igual a zero;
4. Se em uma matriz quadrada de ordem n uma fila é obtida a partir de uma combinação linear das demais filas paralelas, então o seu determinante será igual a zero;
Alteração de Determinantes:
1. Se em uma matriz quadrada de ordem n trocarmos 2 filas paralelas de posição, então sua determinante troca de sinal;
2. Se em uma matriz quadrada de ordem n multiplicarmos todos os elementos por uma constante, então o seu determinante ficará multiplicado por essa constante elevada a ordem da matriz;
3. Se em uma matriz quadrada de ordem n multiplicarmos uma fila por uma constante, então o seu determinante ficará multiplicado por essa constante;
Não alteração de Determinante:
1. O determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da própria matriz;
2. Se em uma matriz quadrada de ordem n se a uma fila adicionarmos uma combinação linear das demais filas paralelas, então o seu determinante não se altera. (Teorema de Jacobi);
Operação com Determinantes:
1. O determinante do produto entre 2 matrizes quadradas e de mesma ordem é igual ao produto dos determinantes entre cada uma delas (Determinante de Vandermonde).

Cálculo Simplificado de um Determinante

- Escolha um pivô (1) e transforme uma de suas filas em seqüência de 1, e outra e composta do pivô e uma seqüência de 0. Para fazer isso faça operações matemáticas com as filas. Neste caso:
C2 <--- C2 + (-2) C1 <--- : Indica que recebe.
C3 <--- C3 + (-1) C1
- A partir daí se elimina as filas do pivô e nos resta um determinante de ordem 3;
Obs.: Para transformar algum elemento do determinante em pivô, pode-se trabalhar sua fila com operações para chegar a 1. Essas operações posteriormente devem multiplicar todo determinante;

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