Muitos pensam que o trema não existe mais. Existe. Faz parte do sitema ortográfico vigente e deve ser usado quando a letra U for pronunciada atonamente nos grupos QÜE ,QÜI e GÜE, GÜI. Um exemplo claro e muito conhecido é a palavra CINQÜENTA. Veja nas cédulas de CINQÜENTA reais.

Há outra palavra muito bonita e interessante que, normalmente, as pessoas pronunciam de forma errada: QÜIPROQUÓ. QÜIPROQUÓ é uma expressão latina que significa confusão. O trema deve aparecer no primeiro U. O segundo U não está em nenhum dos grupos que exigem esse sinal.

Outro motivo de confusão é o apóstrofo, um sinal em forma de vírgula usado em certos casos de união de palavras. Um exemplo do uso do apóstrofo está na música de Chico Buarque "Gota D'água".

"Deixa em paz meu coracão
Que ele é um pote até aqui de mágoa
E qualquer desatenção, faça não
Pode ser a gota d'água..."

Em vez de Chico escrever gota de água, ele preferiu gota d'água. O apóstrofo representa a junção de duas palavras: de e água.

Outra confusão no uso do apóstrofo. Muita gente coloca apóstrofo em pra, redução da palavra para. No caso, não houve junção de palavra com palavra. Logo, não há por que colocar o apóstrofo.

O apóstrofo pode ser usado de forma criativa. Por exemplo, no nome de um bar situado na rua Eça de Queiróz, no bairro do Paraíso, em São Paulo. O nome do estabelecimento é "ENTRE N'EÇA". Os proprietários criaram essa marca a partir do nome da rua e da expressão popular "entre nessa".

Resumo: Não use apóstrofo sem que haja junção de palavras.